多边形的内角和

武进区学府小学 孙云卓

一、教学目标：

(1)知识与技能：掌握多边形的内角和与外角和的计算方法，并能用其解决一些简单的问题;通过多边形内角和计算公式的推导，体验转化和类比的数学思想方法。

(2)过程与方法：

①、让学生经历猜测、探索、推理、归纳等过程，开展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为的思想方法。

②、通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

③通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。

(3)情感态度与价值观：通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望。同时，体验猜测得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。

二、教学重、难点：

重点：探索多边形的内角和及外角和公式。

难点：多边形内角和公式的推导。

三、教具、学具准备：三角板、量角器、作业纸。

四、教学设计

（一）回顾旧知，唤醒经验

师：同学们，瞧，这是什么？生：三角形。

师：通过本单元的学习，你了解哪些有关三角形的知识？

生1：三角形有3条边、3个角和3个顶点。

生2：三角形的内角和是180°。

师：回忆一下，我们是怎样得到三角形的内角和是180°的？

生：可以测量每个角的度数后相加，得到三角形的内角和是180°。

生：还可以把三个角剪下来拼在一起得到一个平角，所以三角形的内角和是180°。

师：关于内角和，你觉得我们还可以探究什么？

生：多边形的内角和。

师：你知道哪些多边形？

课件出示表格：

师：这节课，我们就一起去探索多边形内角和的秘密。

（二）激活经验，寻求关联

师：这些多边形，你想先从哪个开始探究？

生：可以先从简单的四边形开始。

师：谁能大胆猜测一下四边形的内角和？

生：四边形的内角和是360°。

师：数学可是要讲道理的。这些都是四边形（出示各种形状的四边形），你能选择其中一个说明自己的猜想吗？

生1：我选长方形，因为长方形的4个角都是直角，它的内角和是90°×4=360°。

生2：我选正方形，正方形的4个角也都是直角，90°×4=360°。

师：像正方形、长方形这样特殊的四边形，它们的内角和都是360°，那是否就可以说任意一个四边形的内角和都是360°呢？

生1：还不可以。特殊的四边形并不能代表所有的四边形。

生2：还要想办法验证一般的四边形的内角和也都是360°。

（三）启发质疑，提出深度问题，促进深入探索

1.探索任意四边形的内角和。

师：下面我们通过实验来验证任意四边形的内角和是否都是360°。请同学们小组合作，先请组长拿出学具篮里的四边形，每人发一个。

课件出示小组合作提示：

（1）标出四边形的每个内角。

（2）小组讨论准备怎样研究，再分别尝试。

（3）小组交流，并准备向全班汇报。

我采用的方法是__________________________。

我的结论是__________________________。

学生分组活动时，教师巡视指导，之后组织全班交流。

（1）生1：我用量角器测量出4个角的度数分别是60°、120°、60°、120°，通过计算得出四边形的内角和是360°。

（2）生2：我把4个内角撕下来，拼成了一个360°的周角。

（3）生3：我把四边形分成2个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，2个180°就是360°，所以这个四边形的内角和是360°。

师：大家听明白他的意思了吗？180°×2是2个三角形的内角和，为什么又是四边形的内角和呢？谁能在图上描一描、画一画，回答这个问题吗？

生：（上台标出三角形的6个内角）分成的2个三角形的内角和正好就是原来四边形的内角和。

师：同学们用了不同的方法发现了四边形的内角和，那么这三种方法，哪一种方法更便于我们进一步研究多边形的内角和，为什么？

生：测量法会有误差，撕拼法比较费时间，也不太方便，把四边形分割成三角形后计算，简单又方便。

师：看来，一个任意四边形可以通过分割，转化成三角形再求出内角和。（板书）

（四）明晰本质，促进迁移

1.深入探究，运用转化

师：刚刚我们验证了四边形的内角和，接下来你还想进一步探究哪个多边形的内角和？能自己尝试探究吗？

出示学习要求：

活动二:探究五边形内角和的秘密

1. 想一想：你打算怎么探究它的内角和？

2. 记一记：将你的思考过程画一画或写一写。

3. 说一说：完成后，同桌交流思考过程。

学生独立思考，完成升级任务。

2.勾联应用，感悟规律

（1）探究五边形的内角和

出示作品1、作品2：

①分成一个三角形+一个四边形

②

师：都对吗？他们是怎么想的？

追：说的真好，我们可以把五边形分割成已经知道的三角形或者四边形来研究（板贴：未知到已知）

出示作品③

师：这位同学也是采用了分割法，但是他计算内角和为900°，对吗？哪里出了问题？

生：在转化成三角形的过程中都产生了多余的角，但是没有减掉。

师：比较这两种分法，大家觉得哪一种更合适？

生：第一种。

师：大家都觉得第一种方法好。那怎样分多边形，分出的所有三角形的内角和恰好等于多边形的内角和？

生：从同一个顶点出发向其他顶点连对角线。

师：（在图上演示，给顶点标A、B、C、D、E）这个五边形，除了从点A出发画对角线分五边形，还可以从哪个点出发，共有几种方法？

生：从点B出发这么分，从点C、点D、点E出发都可以。分法共有5种。

小结：也就是说，我们在多边形里分三角形时要有序，从一个点出发不重复不遗漏。

3.探索任意多边形的内角和规律。

师：刚才我们用分割法探究了四边形和五边形的内角和，我们都是把它转化成——（生：三角形）来实践的，那你们能用刚才的学习经验，任选一个多边形研究它的内角和吗？（出示学习单）

（板贴：表格）

交流：

师：观察这些数据，联系刚才自己分的这些图形，你们发现了什么规律吗？

生1：图形的边数越多，分成的三角形的个数也越多，内角和也就越大。

生2：多边形分成几个三角形，它的内角和就是180°的几倍。

生3：分成三角形的个数=多边形的边数-2。

师：刚才同学们提出了很多重要的发现，你又有什么问题需要提出来吗？

生：为什么分成的三角形个数总比多边形的边数少2？

师：真好，问到关键的地方了。大家讨论一下，能想清楚为什么吗？

生：因为每个顶点都和两个顶点相邻，和相邻的顶点不用连线，所以少了2。

师：好，大家在刚才自己分的多边形中选一个，把与这个顶点相邻的两条边用彩色笔描一下。有什么发现？

生1：（结合图）去掉和这个顶点相邻的两条边，剩下的边都和这个顶点相对。

生2：剩下的每条边都对应一个分出的三角形。

师：原来这个“减2”可以看成减去与这个顶点相邻的2条边。

师：太厉害了，我们用不同的思路和方法，都得到了相同的规律。数学就是这么奇妙、这么迷人。在数学的天地里，我们不仅要知道规律是什么，还要知道规律是怎样发现的，更要研究为什么会有这样的规律。现在你能用一个数学式子表示多边形的内角和规律吗？

生：多边形内角和=180°×（边数-2）。

（五）引导反思，提出拓展问题，促进后续探索

师：在探索和发现规律的过程中，你有哪些经验或体会与同学们分享呢？

生1：把多边形分成三角形，可以推算出它们的内角和。

生2：从四边形、五边形、六边形开始想起，多边形的边数越来越多，但规律是相同的。

师：好的。这节课，我们不仅发现了多边形的内角和的规律，还体会到提问对于学习的重要性。下面老师再给大家一个提出问题的机会。根据“多边形内角和=180°×（边数-2）”这个规律，你能提出什么问题？

生1：二十边形的内角和是多少度？

生2：有没有内角和是1000°的多边形？

师：真好，提出问题比解决问题更重要。这些问题大家可以课后解决。今天的课就上到这里，下课。